Axiomas de Incidencia

ESTRUCTURA DE AULA VIRTUAL                                                                                   YADIRA MENESES                              

 

 

Cursos de Matemática: Geometría I

Matemática 112 – a

 

·         BIENVENIDA

     Apreciados estudiantes les extiendo una cordial bienvenida,  en este curso se pretende que usted pueda desarrollar el razonamiento lógico y creativo, el cual es de mucha ayuda  para el desenvolvimiento del individuo en la vida diaria. Estamos a su disposición para ayudarles a resolver  cualquier  duda que se presente y espero que estemos en constante comunicación para que el proceso enseñanza - aprendizaje sea eficaz y personalizado.

 

·         Introducción al módulo  “geometría”

     Se inicia este módulo  con una introducción a la geometría, luego se abordan los axiomas de incidencia y de distancia, donde  se presentan las demostraciones de algunos teoremas y se dejan otros por demostrar.

El curso  matemática 112-a  pretende iniciar al alumno en el estudio riguroso de la geometría euclidiana plana, empleando el enfoque métrico de Birkhoff.  Los temas que desarrollaremos son

Ø  Términos no definidos

                              Punto, recta, plano

Ø  Relaciones de incidencia entre puntos, rectas y planos

Ø  Axiomas de incidencia

 

 

·        Objetivos

1.            Presentar al alumno en las nociones fundamentales de la geometría de incidencia y de               
              distancia, los axiomas de incidencia   en el plano.

2.            Lograr que el alumno demuestre proposiciones y teoremas en forma correcta  dentro del
              sistema postulacional de  la geometría de incidencia .

 

 

·        Clase No.1

     Al estudiar los sistemas axiomáticos, se inicia con conceptos que no se pueden definir, denominados términos no definidos, punto, recta y plano.

     Un axioma es cosas que se aceptan sin demostración pero dentro de cualquier ciencia.   Un postulado es el resultado aceptado sin demostración pero de la propia ciencia.

     Ejemplo

“Si a iguales, añadimos iguales, obtenemos iguales”   es un axioma, mientras que la proposición “Por dos puntos distintos podemos trazar un segmento de recta”   es un postulado.

     Hoy en día,  un postulado y axioma es un resultado que se acepta como cierto.  Un teorema en su etimología original, quiere decir “objeto de una visión”.   Es decir, un teorema es una preposición cuya veracidad debe poderse ver.   Un teorema es una preposición que tiene que ser demostrada.

     Existen dos requisitos que deben cumplirse para poder hablar de que una prueba es correcta:

1.       Debe aceptarse ciertas proposiciones llamadas axiomas (o postulados) sin demostración

2.       Debe existir acuerdo sobre cuando una proposición ha sido deducida de otra.  (Es decir, debe existir acuerdo sobre cuáles son las  reglas de deducción permitidas).

     El primer testimonio de organización global de una disciplina matemática la constituye los “Elementos de Euclides”, donde Euclides enunció unos pocos postulados   y fue capaz de deducir, gradualmente, partiendo de estos postulados, 465 teoremas que constituían todo el conocimiento geométrico de su tiempo.

 

Axiomas de Incidencia

Término indefinido incidencia, que es una relación entre un punto y una recta.   Esta relación de incidencia debe satisfacer los siguientes axiomas.

A1.    Dados dos puntos distintos, existe una única recta que incide en ellos.

A2.    Dados tres puntos distintos y no colineales  (no están en una misma recta) existe un único    
           plano que los contiene.

A3.     La intersección de dos planos es una única recta.

A4.     Si dos puntos inciden en un plano, la recta que incide en ellos está en el plano.

A5.      Dada una recta, existen dos puntos distintos que inciden en ella.  Dado un plano, existen   
              tres puntos distintos no colineales que inciden en él.

 

Teorema 1.  Si dos rectas distintas se intersectan su intersección es un único punto.

Demostración.

1.      Existencia

Sean l1  y l2  las rectas distintas, como se intersectan,  por definición existe al menos un punto que llamaremos P, que incide en l1  y l2.

                                                                               l1

                                               

                                                 P

                                                

 

 

                                                                                l2                                                                   

2.      Unicidad

Supongamos que existe   Q  ≠  P,  que incide en l1  y l2.  Por el A1,  dados Q  y P  existe una única recta que incide en ellos.   Así   l1  =   l2  , lo que es una contradicción.     En conclusión   P es único.

Teorema 2.  Si un plano y una recta que no está en el plano se intersectan,  su intersección es un único punto.

( por demostrar)

 

 

Teorema 3.  Un punto y una recta que no incide en el punto  están en un único plano.

                                                                            P                                   l

                                                                                                                 .                                                                  

 

                                                      .

                                           Q

Demostración                                             

     Sean P   el punto y   l   la recta dada.   Por el A5, dada l,  existen dos puntos distintos que llamaremos     Q  y  R  que inciden en l.  Así   P,  Q  Y   R   no son colineales  (ya que si fueran colineales  P estaría en la recta que contiene a Q y  R ,  que por A1 es única y esto es una contradicción).

      De donde existe un único plano que llamaremos   ∏   en donde incide P,  Q  Y   R (A2).      Por A 4,  como Q  ,  R   inciden y están en   ∏,   y   Q  ,  R  están en   l,  entonces   l  está en   ∏.    Así   P   y   l  están en ∏.

 

Unicidad

     Por otro lado supongamos que existe   Ω   ≠   ∏   que cumple las condiciones de existencia para ∏.     Como Ω   y   ∏   contienen a P, entonces por el A3 su intersección es una única recta,   con lo cual P  incide en l.       Lo que es una contradicción.

     En  conclusión   ∏  es único.

 

Teorema 4.  Si dos rectas distintas se intersectan, su unión está en un único plano.

(por demostrar).

 

Asignación

Demuestre los teoremas 2 y 4 presentados en la parte superior.

 

Criterios de evaluación

·         Construya un dibujo que represente el teorema presentado.

·         Lea cuidadosamente los axiomas de incidencia y los teoremas demostrados.

·         Selecciones los axiomas que puede utilizar para realizar la demostración

·         Cada teorema anterior se puede utilizar en el posterior si es aplicable.

·         Redacte la demostración siguiendo una secuencia lógica y coherente.